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ガウス-ヤコビ数値積分
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ガウス-ヤコビ数値積分
有限区間(a,b)の積分をガウス-ヤコビ求積法で計算します。
\(\normalsize Gauss-Jacobi\ quadrature\\
{\large\int_{\small -1}^{\small 1}}(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}f(x)dx\simeq{\large\displaystyle \sum_{\small i=1}^{n}}w_{i}f(x_i)\\
{\large\int_{\small -1}^{\small 1}}g(x)dx\simeq{\large\displaystyle \sum_{\small i=1}^{n}}{\large\frac{w_i}{(1-x_i)^{\alpha}(1+x_i)^{\beta}}}g(x_i)\\
\hspace{130px}g(x)=(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}f(x)\\\)
g(x)
f(x)
変数 α
,
β
区間 (a
,
b
)
分割数 n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
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24
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28
29
30
31
32
33
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35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
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63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
n=2,3,4,..,100
6桁
10桁
14桁
18桁
22桁
26桁
30桁
34桁
38桁
42桁
46桁
50桁
被積分関数f(x)は、解析的であることと周期関数でないことを前提としています。
\(\normalsize Gaussian\ quadrature\\
\hspace{20px} {\large\int_{\small a}^{\small b}}w(x)f(x)dx\simeq{\large\displaystyle \sum_{\small i=1}^{n}}w_{i}f(x_i),
\hspace{20px} {\large\int_{\small a}^{\small b}}g(x)dx\simeq{\large\displaystyle \sum_{\small i=1}^{n}}{\large\frac{w_{i}}{w(x_i)}}g(x_i)\\
Gauss-Jacobi\ quadrature\\
\hspace{30px} interval(a,b):\hspace{20px} (-1,\ 1)\\
\hspace{30px} w(x):\hspace{80px} (1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}\\
\hspace{30px} polynomialsl:\hspace{10px} J_n^{\alpha,\beta} (x)\\
\)
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